牛顿摇篮W/运动研究与物理分析

因为这不是弹性碰撞，所以动能损失。我们可以通过检查碰撞前后的碰撞来模拟五球系统的动能：KE（前）：1/2mv^2 KE（后）：1/2（5m）（v'）^2其中m表示一个球的质量，v表示碰撞前第一个球的最大速度，v'代表五球系统所经历的最大速度。动能不守恒，但根据能量守恒定律，总能量守恒。通过考虑重力和热能产生的势能，可以对总能量进行建模，其中热能是系统中摩擦力的一般描述：TE（第一个球下落前）：mghTE（球碰撞后立即）：1/2（5m）（v'）^2TE（当五球系统达到峰值时）：（5m）gh'+5（F_s）其中h表示第一个球落下前，第一个球的质心与其余球的质心之间的高度差，h'表示所有球在瞬间停止时的质心与碰撞后的初始位置之间的高度差，F_s表示一对球之间的静摩擦力，L代表静摩擦力作用的距离，但我们还没有完成。我们还可以计算碰撞后五球系统振荡的频率和周期。为此，我们绘制了系统的自由体图，并创建了一个方程来表示作用中的力。在切向上（垂直于张力），作用在5球系统上的唯一力是重力的水平分量：-（5m）g（sin（θ（t））=（5m）awhereθ（t）表示张力-重力之间的时间函数角度。由此，我们可以取消两边的5m，并创建一个微分方程：d^2x/dt^2+gsin（θ（t））=0如果我们假设振荡很小，那么θ（t）很小，通过使用正弦函数的幂级数表示，我们可以说sin（θ（t））≈ θ（t）。因此，我们的新方程是：d^2x/dt^2+g（θ（t））=0由于扇形长度公式，我们可以说：x（t）=R（θ（t）），其中R是螺纹的长度，x（t）表示5球系统以时间为单位移动的距离。现在我们的微分方程的形式是：d^2x/dt^2+（g/R）x（t）=0最后，因为我们的微分方程是这种形式，所以解是：x（t）=Acos（ωt），其中A表示振荡的最大高度（也可以写成h'），ω=sqrt（g/R）。由此：频率：（1/2π）sqrt（g/R）周期：（2π）sqrt（R/g）注：这些计算均假设支撑滚珠的螺纹质量可忽略不计。此外，空气阻力是微不足道的，因此振荡没有阻尼